unixforum.org

Да, замечу насчёт вырожденного случая (все три коэффициента равны нулю). Мы говорим о школьной трактовке понятий корней и их подсчёта. А в школе во время прохождения квадратных уравнений с параметрами ученики ещё не знакомы с понятием бесконечности. Поэтому считается, что тождество, верное для любого числа, имеет 0 корней.

t.t писал(а): ↑

07.06.2010 23:03

Поэтому считается, что тождество, верное для любого числа, имеет 0 корней.

Это типа как в америке в одном из штатов считается что пи=4? Нельзя так говорить. "В случае если уравнение имеет бесконечное число корней, в качестве результата вывести 0" - вот как-то так можно

math писал(а): ↑

07.06.2010 23:09

t.t писал(а): ↑

07.06.2010 23:03

Поэтому считается, что тождество, верное для любого числа, имеет 0 корней.

Это типа как в америке в одном из штатов считается что пи=4? Нельзя так говорить. "В случае если уравнение имеет бесконечное число корней, в качестве результата вывести 0" - вот как-то так можно

Ещё раз: на момент изучения квадратных уравнений школьники не знакомы с понятием бесконечности. А если говорить не о школьной математике, то такое понятие как корень тождества, -- вообще терминологический нонсенс. Потому в любом случае можно говорить, что выражение 0=0 _верно при любом значении_ x (а также a, b, y, z и любого другого параметра) -- но ни в коем случае нельзя говорить о бесконечном количестве _корней_. Ни в школьном контексте, ни в общематематическом.

0==0
не является уравнением.

а у уравнения n'ой степени имеется РОВНО n корней. нравится это вам, или нет...

что там выводят программы в амереканских школах - меня не очень волнует...

Crazy писал(а): ↑

20.03.2010 13:31

В области комплексных чисел да, в области вещественных нет.

уравнение x = 735
не имеет корней в области чисел не равных 735. ограничивая области легко дойти до маразма.
да, если начать делить на области...

drBatty писал(а): ↑

08.06.2010 16:26

0==0
не является уравнением.

Совершенно верно.

drBatty писал(а): ↑

08.06.2010 16:26

а у уравнения n'ой степени имеется РОВНО n корней. нравится это вам, или нет...

что там выводят программы в амереканских школах - меня не очень волнует...

Crazy писал(а): ↑

20.03.2010 13:31

В области комплексных чисел да, в области вещественных нет.

уравнение x = 735
не имеет корней в области чисел не равных 735. ограничивая области легко дойти до маразма.
да, если начать делить на области...

Строго говоря, уравнения с действительными коэффициентами очень часто решают над полем действительных чисел. Только вот "областью" его называть не стоит. (: Бывают, хотя и реже, задачи решить уравнение в кольце рациональных чисел, или даже целых (последние даже носят специальное название по имени занимавшегося ими древнего учёного; всё время вылетет из головы).

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 17:24

drBatty писал(а): ↑

08.06.2010 16:26

0==0
не является уравнением.

Совершенно верно.
древнего учёного; всё время вылетет из головы).

Учёный этот - Диофант.
А 0 = 0 является уравненем. Смотрите:
x+0 = x+0 - является уравнением.
Делаем преобразование (отнимаем с обеих сторон x), получаем (по соотв. теореме) равносильное _уравнение_:
0 = 0
его решение x - любое число, т.е оно имеет бесконечное множество корней. А про бесконечность дети ещё в школьном саду знают. А тем кто не знает учитель должен, буде такое уравнение попадётся, рассказать

math писал(а): ↑

08.06.2010 20:44

Учёный этот - Диофант.

Точно, спасибо.

math писал(а): ↑

08.06.2010 20:44

А 0 = 0 является уравненем. Смотрите:
x+0 = x+0 - является уравнением.
Делаем преобразование (отнимаем с обеих сторон x), получаем (по соотв. теореме) равносильное _уравнение_:
0 = 0

Нет. Равносильное, но не уравнение, а тождество. Строго по определению -- да, первоначальное уравнение, равносильное этому тождеству, имеет бесконечное множество корней (фраза "бесконечное число" -- ещё один терминологический нонсенс, т.к. бесконечность -- не число). Но традиционно в высшей математике "уравнения", равносильные тождественному равенству, не принято считать уравнениями -- в том числе и потому, чтобы сам термин "бесконечное множество корней" имел какой-то смысл: его применяют к уравнениям, тождествами не являющимся (например, если множество корней счётное).

math писал(а): ↑

08.06.2010 20:44

А про бесконечность дети ещё в школьном саду знают. А тем кто не знает учитель должен, буде такое уравнение попадётся, рассказать

В детском саду, говорите? (: Как сейчас, не знаю, но лет 10-15 назад понятие бесконечности и в школьной-то программе гарантировано изучалось только в математических классах. А на гуманитарных специальностях вузов многие о ней и на первых курсах ничего не знали. Не думаю, чтобы с тех пор знания школьников и программный материал так улучшились. По мнениям знакомых учителей наоборот: ухудшились, причём катастрофически.

Если отбросить (временно) вопрос об изучении бесконечности и сосредоточиться на вопросе о том, является ли 0=0 уравнением, то я утверждаю, что если понимать его в смысле f(x) = 0, где f(x) - функция тождественно равная нулю, то это - уравнение даже в самой высшей из всех высших математик.
В школьном курсе не так уж редко бывает, когда уравнение сводится к тождеству. Говорить школьникам, что "мы получли не уравнение" - значит только сильнее их запутывать.

math писал(а): ↑

08.06.2010 21:51

Если отбросить (временно) вопрос об изучении бесконечности и сосредоточиться на вопросе о том, является ли 0=0 уравнением, то я утверждаю, что если понимать его в смысле f(x) = 0, где f(x) - функция тождественно равная нулю, то это - уравнение даже в самой высшей из всех высших математик.
В школьном курсе не так уж редко бывает, когда уравнение сводится к тождеству. Говорить школьникам, что "мы получли не уравнение" - значит только сильнее их запутывать.

Не смешивайте. В школьном контексте я ничего не говорил про "не уравнение". Я говорил о том, что в школе к этому времени не изучается понятие бесконечности -- потому речи о бесконечном множестве корней не может идти по определению.

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 23:38

Не смешивайте. В школьном контексте я ничего не говорил про "не уравнение".

Я не смешиваю. Те два абзаца надо читать отдельно. Именно в "не-школьном" контексте - это уравнение.

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 23:38

Я говорил о том, что в школе к этому времени не изучается понятие бесконечности -- потому речи о бесконечном множестве корней не может идти по определению.

Может, это называется опережающее обучение. Вообще, так как в рамках школьного курса доказывать всё невозможно, то часто применяется отсылка к внематематическому "житейскому" опыту. Именно так с бесконечным числом корней. В то же время я не настаиваю на такой формулировке. Вполне достаточно сказать, что решение - любое число. Но если у учащихся возникнет вопрос о числе корней, про бесконечность надо сказать - это и будет опережающее обучение. Точно так же нельзя категорично утверждать, что не существует квадратного корня из -1. С самого начала изучения корня надо готовить учащихся к восприятию комплексных чисел. И так во многих школьных математических вопросах.

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 17:24

Строго говоря, уравнения с действительными коэффициентами очень часто решают над полем действительных чисел.

угу. только это всё-же частный случай.

math писал(а): ↑

08.06.2010 20:44

А 0 = 0 является уравненем. Смотрите:
x+0 = x+0 - является уравнением.
Делаем преобразование (отнимаем с обеих сторон x), получаем (по соотв. теореме) равносильное _уравнение_:
0 = 0

оно ниразу не равносильное.
с тем-же успехом вы можете доказать, что a==a, или b==a, или даже c==0...
0=0
вообще не является _уравнением_. потому его решение не имеет никакого смысла. а вот x+0=x+0 это уравнение, и равносильное к нему - x=x, а вовсе _не_ 0=0.

math писал(а): ↑

08.06.2010 20:44

Учёный этот - Диофант.

угу. и есть частный случай уравнений, которые как раз и носят его имя - уравнения, которые разрешимы только в целых числах.

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 21:40

(фраза "бесконечное число" -- ещё один терминологический нонсенс, т.к. бесконечность -- не число)

почему это? нормально число...

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 21:40

Как сейчас, не знаю, но лет 10-15 назад понятие бесконечности и в школьной-то программе гарантировано изучалось только в математических классах.

ЕМНИП изучалось в обычной средней школе. причём не только бесконечность, но и пределы и даже интегралы. лет 20 назад точно было.

math писал(а): ↑

08.06.2010 21:51

Если отбросить (временно) вопрос об изучении бесконечности и сосредоточиться на вопросе о том, является ли 0=0 уравнением, то я утверждаю, что если понимать его в смысле f(x) = 0, где f(x) - функция тождественно равная нулю, то это - уравнение даже в самой высшей из всех высших математик.

если так рассматривать - да. уравнение.

math писал(а): ↑

08.06.2010 21:51

В школьном курсе не так уж редко бывает, когда уравнение сводится к тождеству. Говорить школьникам, что "мы получли не уравнение" - значит только сильнее их запутывать.

это проблема школьников. им дали тождество, которое _похоже_ на уравнение, и сказали: "решайте как уравнение", т.е. изначально их обманули. Путём решения они пришли к тождеству, и убедились, что это _тождество_ вообще не имеет отношения к переменной X (как и к любой другой), а следовательно X не зависит от тождества, а следовательно X может быть любым. Как и Y, или погода на Марсе.

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 23:38

Я говорил о том, что в школе к этому времени не изучается понятие бесконечности -- потому речи о бесконечном множестве корней не может идти по определению.

а тут вовсе и нет "бесконечного множества", это другое множество - "любое число", в школе даже спец-символ мы проходили, это перевёрнутая A...

math писал(а): ↑

09.06.2010 00:48

Вообще, так как в рамках школьного курса доказывать всё невозможно, то часто применяется отсылка к внематематическому "житейскому" опыту. Именно так с бесконечным числом корней.

...И это не правильно. Кроме "переменная имеет одно значение из бесконечного множества", есть ещё и "переменная может иметь ЛЮБОЕ значение". Это разные вещи. Например переменная может быть булевой, и иметь всего 2 значения, и тем не менее являтся корнем "уравнения" 0==0.

ЗЫЖ а понятие "бесконечность" неявно вводится ещё в начальной школе, при изучении натуральных чисел...

это проблема школьников. им дали тождество, которое _похоже_ на уравнение, и сказали: \"решайте как уравнение\", т.е. изначально их обманули

любая штука вида f(x) = g(x) является уравнением относительно x. И тождества тоже. Перейти к 0=0 можно по строгим законам преобразования уравнений, в которых нет ни слова о тождествах, только об уравнениях. Надо только понимать, что это не просто 0=0. Это именно \"уравнение 0=0 относительно x\". К погоде на Марсе и y оно вообще отношение не имеет, а к x - имеет.

это все-же частный случай

всё в этом мире - частный случай. и решение над полем комплексных чисел - это тоже частный случай, так как есть ещё кватернионы например.

это проблема школьников. им дали тождество, которое _похоже_ на уравнение, и сказали: \"решайте как уравнение\", т.е. изначально их обманули

любая штука вида f(x) = g(x) является уравнением относительно x. И тождества тоже. Перейти к 0=0 можно по строгим законам преобразования уравнений, в которых нет ни слова о тождествах, только об уравнениях. Надо только понимать, что это не просто 0=0. Это именно \"уравнение 0=0 относительно x\". К погоде на Марсе и y оно вообще отношение не имеет, а к x - имеет.

это все-же частный случай

всё в этом мире - частный случай. и решение над полем комплексных чисел - это тоже частный случай, так как есть ещё кватернионы например.

Дабы закончить дискуссию, предлагаю согласиться всем с тем, что решением уравнения 0x^2+0x+0=0 над полем действительных чисел является x принадлежит R.

math писал(а): ↑

09.06.2010 00:48

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 23:38

Не смешивайте. В школьном контексте я ничего не говорил про "не уравнение".

Я не смешиваю. Те два абзаца надо читать отдельно. Именно в "не-школьном" контексте - это уравнение.

Я уже ответил: строго по определению -- да.

math писал(а): ↑

09.06.2010 00:48

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 23:38

Я говорил о том, что в школе к этому времени не изучается понятие бесконечности -- потому речи о бесконечном множестве корней не может идти по определению.

Может, это называется опережающее обучение. Вообще, так как в рамках школьного курса доказывать всё невозможно, то часто применяется отсылка к внематематическому "житейскому" опыту. Именно так с бесконечным числом корней. В то же время я не настаиваю на такой формулировке. Вполне достаточно сказать, что решение - любое число. Но если у учащихся возникнет вопрос о числе корней, про бесконечность надо сказать - это и будет опережающее обучение. Точно так же нельзя категорично утверждать, что не существует квадратного корня из -1. С самого начала изучения корня надо готовить учащихся к восприятию комплексных чисел. И так во многих школьных математических вопросах.

Прошу прощения, Вы преподавали в школе? И изучали методику преподавания математики в млажших и средних классах и практикум решения задач по элементарной математике?

drBatty писал(а): ↑

09.06.2010 04:25

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 17:24

Строго говоря, уравнения с действительными коэффициентами очень часто решают над полем действительных чисел.

угу. только это всё-же частный случай.

Да. Но достаточно распространённый частный случай. Даже более распространённый, чем общий.

drBatty писал(а): ↑

09.06.2010 04:25

math писал(а): ↑

08.06.2010 20:44

Учёный этот - Диофант.

угу. и есть частный случай уравнений, которые как раз и носят его имя - уравнения, которые разрешимы только в целых числах.

Нет его имя носят все уравнения с целыми коэффициентами, если они решаются в кольце целых чисел. Самый известный пример диофантова уравнения -- пифагоровы тройки: a^2+b^2=c^2. В поле действительных чисел оно имеет бесконечное множество нецелых корней.

drBatty писал(а): ↑

09.06.2010 04:25

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 21:40

(фраза "бесконечное число" -- ещё один терминологический нонсенс, т.к. бесконечность -- не число)

почему это? нормально число...

По определению.
энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
словарь Даля
БСЭ
словарь Ушакова

drBatty писал(а): ↑

09.06.2010 04:25

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 21:40

Как сейчас, не знаю, но лет 10-15 назад понятие бесконечности и в школьной-то программе гарантировано изучалось только в математических классах.

ЕМНИП изучалось в обычной средней школе. причём не только бесконечность, но и пределы и даже интегралы. лет 20 назад точно было.

Ровно двадцать лет назад я перевёлся обычной школы в математическую. Могу совешренно точно утверждать: мои одноклассники из обычной школы ни пределов, ни производных, ни интегралов не проходили (мы -- проходили). Десять лет назад я в рамках педагогической практики изучал программу математики для обычных и математических классов. Также могу совершенно точно утверждать: в программе для обычных классов понятия бесконечности не было.

drBatty писал(а): ↑

09.06.2010 04:25

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 23:38

Я говорил о том, что в школе к этому времени не изучается понятие бесконечности -- потому речи о бесконечном множестве корней не может идти по определению.

а тут вовсе и нет "бесконечного множества", это другое множество - "любое число"

"Любое число" -- это не множество. (: Для начала нужно понять, какое число. Натуральное? Рациональное? Алгебраическое? Действительное? Комплексное? (Список, кстати, можно продолжить: ни комплексными числами, ни даже кватернионами он не заканчивается.) А когда мы это определим, абстрактная фраза "любое число" превращается в более конкретное "любое из _множества_ (например) действительных чисел".

Цитаты не влезают. Продолжение отдельным постом.

drBatty писал(а): ↑

09.06.2010 04:25

в школе даже спец-символ мы проходили, это перевёрнутая A...

Да, в школе его так и проходят. Но на самом деле он немного в другом контексте используется и означает "для любого ... из ...", т.е. опять-таки из некоторого множества.

drBatty писал(а): ↑

09.06.2010 04:25

ЗЫЖ а понятие "бесконечность" неявно вводится ещё в начальной школе, при изучении натуральных чисел...

Там вводится понятие "сколь угодно большого числа", а не бесконечности. Это разные вещи.

t.t писал(а): ↑

09.06.2010 10:20

Ровно двадцать лет назад я перевёлся обычной школы в математическую. Могу совешренно точно утверждать: мои одноклассники из обычной школы ни пределов, ни производных, ни интегралов не проходили (мы -- проходили). Десять лет назад я в рамках педагогической практики изучал программу математики для обычных и математических классов. Также могу совершенно точно утверждать: в программе для обычных классов понятия бесконечности не было.

Я закончил школу в 2004. В 10-11 классах изучались пределы, дифференциалы, интегралы и прочий матан. Школа обычная.

drBatty писал(а): ↑

09.06.2010 04:25

а тут вовсе и нет "бесконечного множества", это другое множество - "любое число"

Нет, тут даже не "любое число". Тут "что угодно". "Уравнение" 0=0 не запрещает x быть даже марсианином.

math писал(а): ↑

09.06.2010 08:45

любая штука вида f(x) = g(x) является уравнением относительно x. И тождества тоже. Перейти к 0=0 можно по строгим законам преобразования уравнений, в которых нет ни слова о тождествах, только об уравнениях.

"правила преобразования уравнений" - это в большинстве своем и есть "тождественные преобразования". если у вас была f(x) вы ее превратили в f1(x), то надеяться найти все корни уравнения f(x) = 0 вы можете только если f(x)≡ f1(x).

в случае 0=0, если считать это f(x) = g(x), ни f, ни g не зависят от значения x: f = 0, g = 0. При любых значениях, любого параметра. Решать задачу "найти пересечения функций" для одной и той же функции не имеет смысла.

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 23:38

Прошу прощения, Вы преподавали в школе? И изучали методику преподавания математики в млажших и средних классах и практикум решения задач по элементарной математике?

Методику я изучал. В университете. Преподавал, но недолго и больше физику, а математику меньше (я по-образованию учитель физики с доп. спец. математика, а по-профессии - программист).
Если чесно этот спор мне надоел. Я по-моему привёл все возможные аргументы, и с _вами_ мы по-моему даже согласились по самым важным пунктам. Ну а методика - штука неточная, там имеют право на существование разные мнения.

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 08:22

на момент изучения квадратных уравнений школьники не знакомы с понятием бесконечности

Что-то с памятью моей стало... Вроде бы квуры мы проходили в районе 8 (7?) класса, и вроде бы про бесконечность были в курсе. Во всяком случае запись x∊(−∞; ∞) никого не удивляла. То, правда, был лицей далеко не гуманитарного профиля.

Bizdelnick писал(а): ↑

09.06.2010 21:08

t.t писал(а): ↑

08.06.2010 08:22

на момент изучения квадратных уравнений школьники не знакомы с понятием бесконечности

Что-то с памятью моей стало... Вроде бы квуры мы проходили в районе 8 (7?) класса, и вроде бы про бесконечность были в курсе. Во всяком случае запись x∊(−∞; ∞) никого не удивляла. То, правда, был лицей далеко не гуманитарного профиля.

ммм... у нас понятие бесконечности появилось позже, вроже бы в девятом классе (или даже в десятом), но квадратные уравнения до первого-второгу курса универа решались так: коеффициент при х^2 не нулевой - решаем через дискриминант (без учета мнимых корней), если ноль - то обычное линейное уравнение, а если все коефициенты равны нулю, то такой случай как-то "опускался" =)

/dev/random писал(а): ↑

09.06.2010 10:34

t.t писал(а): ↑

09.06.2010 10:20

Ровно двадцать лет назад я перевёлся обычной школы в математическую. Могу совешренно точно утверждать: мои одноклассники из обычной школы ни пределов, ни производных, ни интегралов не проходили (мы -- проходили). Десять лет назад я в рамках педагогической практики изучал программу математики для обычных и математических классов. Также могу совершенно точно утверждать: в программе для обычных классов понятия бесконечности не было.

Я закончил школу в 2004. В 10-11 классах изучались пределы, дифференциалы, интегралы и прочий матан. Школа обычная.

Видимо, зависит от конкретной школы.

math писал(а): ↑

09.06.2010 19:44

Если чесно этот спор мне надоел. Я по-моему привёл все возможные аргументы, и с _вами_ мы по-моему даже согласились по самым важным пунктам. Ну а методика - штука неточная, там имеют право на существование разные мнения.

Согласен по всем пунктам. На этом, думаю, и закончим.

Lan4 писал(а): ↑

09.06.2010 21:30

квадратные уравнения до первого-второгу курса универа решались так: коеффициент при х^2 не нулевой - решаем через дискриминант (без учета мнимых корней), если ноль - то обычное линейное уравнение, а если все коефициенты равны нулю, то такой случай как-то "опускался" =)

Примерно об этом я и говорил.